The assertion that "The elapsed TÜV is abroad not a problem as this is a national rule. The worst can happen is that you'll get caught home ride on and have to pay a few euro fine." may not be correct.

The Vienna Convention - as reported by Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Vienna_Convention_on_Road_Traffic states

"Cross-border vehicles

One of the main benefits of the convention for motorists is the obligation on signatory countries to recognise the legality of vehicles from other signatory countries. The following requirements must be met when driving outside the country of registration:

Cars must display their registration number at the front and rear, even if legislation in the jurisdiction of registration does not require a front vehicle registration plate on cars. Motorcycles need display their registration number only at the rear. Registration numbers must be displayed in Latin characters and Arabic numerals. In addition to this, the registration number may optionally be displayed in a different alphabet.
A distinguishing sign of the country of registration must be displayed on the rear of the vehicle. This sign may either be placed separately from the registration plate or may be incorporated into the vehicle registration plate. When the distinguishing sign is incorporated into the registration plate, it must also appear on the front registration plate of the vehicle. The physical requirements for the separate sign are defined in Annex 3 of the convention, which states that it must comprise black writing on a white oval background and that it must not form part of the vehicle's registration number. In practice, the requirement to display the white oval is mutually waived between some countries, for example between the European Union countries (where the white oval may be substituted by a blue strip on the Vehicle registration plates of Europe),[2] and between Canada, the United States, and Mexico (where the province, state or district of registration is usually embossed or surface-printed on the vehicle registration plate).

The vehicle must meet all technical requirements to be legal for road use in the country of registration. Any conflicting technical requirements (e.g., right-hand-drive or left-hand-drive) in the signatory country where the vehicle is being driven do not apply.
The driver must carry the vehicle's registration certificate, and if the vehicle is not registered in the name of an occupant of the vehicle (e.g., a hire car), proof of the driver's right to be in possession of the vehicle.

The USA and China are the most notable example of a non-signatory country. Short-term tourists are not allowed to bring cars into China at all. All foreign registered vehicles in China must display a Chinese vehicle registration plate.

The convention also addresses minimum mechanical and safety equipment needed to be on board and defines an Identification mark (Annex 4) to identify the origin of the vehicle."

The parts I have picked out in red indicate to me that a vehicle without current TUV should not be driving in another country. Same probably applies to the majority of foreign vehicles getting around the rest of the world. Whether those foreign countries give a damn isn't all that relevant since if the vehicle is involved in a serious accident, I'd bet there would be some police and lawyers VERY interested. Need to read the fine print and also ask why would laws in the rest of the world somehow be lees strict than applies back home. If Germany or any other country makes it impossible to comply with the Vienna Convention then the solution is simple - just stay home.

--
Tony Lee
Photos at https://picasaweb.google.com/114611728110254134379
Travels map at https://spotwalla.com/tripViewer.php?id=5cfc50ef7ac22ca2d&hoursPast=2400&...

Sorry, aber hier geht es etwas durcheinander und als Jurist will ich auch meinen Senf dazu geben:
1. An Grenzen und bei Polizeikontrollen muss man in vielen Ländern ein Vetsicherungsdokument vorweisen. Gringa hat uns eine günstige Quelle genannt, um solch ein Dokument für zumindest diesen Zweck zu bekommen. Vielen Dank dafür. Uns hilft das weiter.
2. Die Versicherung ist vermutlich eine reine Haftpflichtversicherung und zahlt, wenn überhaupt, nur den Schaden des Unfallgegners. Ob sie das tut und wie kulant, können nur konkrete Erfahrungen zeigen. Ich persönlich rechne nie damit, dass eine Versicherung in der 3.Welt problemlos zahlt. Das Risiko akzeptieren wir bewusst, um Reisen zu können.
3. Wenn man im Ausland mit einem im Heimatland nicht zugelassenen Fahrzeug fährt ist das illegal und wenn man erwischt wird, vermutlich teuer. Tony hat die richtige rechtliche Quelle genannt. Da gibt es, fürchte ich, nicht viel Raum für Interpretation. Nicht umsonst muss man an jeder Grenze die Autopapiere vorlegen, um ein Temporary Import Permit zu bekommen. Zulassungspapiere eines nicht zugelassenen Fahrzeugs sind ungültig. Ihr könnt ja dem Grenzer sagen, das sind die Papiere, aber sie sind ungültig, aber das ist doch sicher kein Problem für ihn. Ich glaube nicht, dass das weitere Prozedere problemlos wäre. Allerdings ist es sehr unwahrscheinlich, dass man erwischt wird. Ob man das Risiko eingehen will, muss jeder selber entscheiden. Bürger mancher Länder müssen es tun, da sie eine Zulassung im Heimatland bei längerer Abwesenheit nicht aufrecht halten können.
4. Welche Auswirkungen es auf den Versicherungsschutz durch die ausländische Versicherung hat, wenn man mit einem nicht zugelassenen Fahrzeug mit ungültigem TIP fährt, hängt von den Bedingungen der Versicherung ab. Das lässt sich nicht generell sagen. Nach deutschem Recht müsste die Versicherung zunächst den geschädigten Unfallgegner entschädigen und könnte dann beim Versicherungsnehmer Regress nehmen. Ob das im Ausland auch so gilt, weiß ich nicht. Fraglich ist auch, ob die Versicherung die Frage überhaupt stellt.
Also im Ausland ohne im Heimatland zugelassenes Fahrzeug fahren ist illegal und damit immer ein Risiko. Es ist derzeit offenbar noch sehr klein, da die lokalen Behörden wohl bisher auf das Problem noch gar nicht gekommen sind oder es sie nicht interessiert. Im Interesse derer, die sich entschieden haben, es dennoch zu tun oder die keine realistische Alternative haben, da sie bei langer Abwesenheit die Zulassung nicht gültig halten können, sollten wir den Mund halten und keine schlafenden Hunde wecken.